Trajektorie wartości własnych w zagadnieniach płaskich

Abstract

Zagadnienie wyznaczenia trajektorii wartości własnych płaskich pól tensorowych drugiego rzędu ma podstawowe znaczenie w analizie pracy konstrukcji tarczowych i płytowych. W celu racjonalnego kształtowania albo zbrojenia konstrukcji w tarczach wyznacza się np. trajektorie naprężeń głównych zaś w płytach trajektorie momentów głównych. Znalezienie wartości własnych stanu naprężenia i odkształcenia albo tensora momentów jest zagadnieniem algebraicznym, natomiast znalezienie kierunków głównych tych pól sprowadza się z reguły do odpowiedniej interpretacji wyników badań elastooptycznych albo do numerycznego całkowania nieliniowych równań różniczkowych z zadanymi warunkami początkowymi, por. np. [3,6,7]. Należy zaznaczyć, że problem jest złożony i trudno go zalgorytmizować. Standardowo programy metody elementów skończonych zawierają tylko algorytmy znajdowania wartości własnych, zaś kierunki własne są znajdowane algebraicznie tylko w punktach całkowania. Nie otrzymuje się wobec tego trajektorii tych pól. Zarówno w przypadku tarcz jak i płyt zagadnienie na wyznaczenie wartości własnych i ich trajektorii jest analogiczne. W pracy podano przykładowe wyniki obliczeń numerycznych w przypadku płyt cienkich Kirchhoffa. Zamieszczamy także przykładowe testy, odpowiadające znanym rozwiązaniom analitycznym, które weryfikują zastosowane algorytmy numeryczne. Rozdział ten jest kontynuacją wcześniejszych prac autorów, patrz [1,2] i literaturę tam cytowaną, w których analizowane były m.in. zagadnienia modelowania i klasyfikacji typów symetrii materiałów kompozytowych (o izotropowej osnowie wzmocnionej ciągłymi włóknami) oraz zadanie wyznaczenia trajektorii wartości własnych symetrycznych pól tensorowych w tarczach i płytach. Obecnie rozpatrujemy obciążoną równomiernie płytę prostokątną, która jest na dwóch przeciwległych brzegach swobodnie podparta i na dwóch pozostałych utwierdzona. W celu zdefiniowania tensora sztywności płyty stosujemy model kompozytu włóknistego analizowanego w rozdziale III. Głównym celem jest wyznaczenie trajektorii momentów i krzywizn głównych w przypadkach gdy tensor sztywności płyty ma co najmniej grupę symetrię ortotropii. Zastosowany prosty model kompozytu pozwala na ilościową i jakościową analizę wpływu stopnia zbrojenia płyty na przebieg trajektorii.