Analiza statystyczna zmiennej losowej wielowymiarowej w aspekcie korelacji i predykcji

Abstract

Przedstawiona analiza różnych współczynników korelacji ma na celu wskazanie, w jakich obszarach badań można stosować odpowiedni rodzaj współczynnika korelacji oraz jaka jest ich interpretacja analityczna i geometryczna. Z analizy tej można wnioskować, że dla zmiennych losowych kwantyfikowanych zawsze powinien być stosowany współczynnik korelacji Pearsona, gdyż jego wartość jest związana z parametrami rozkładu zmiennej losowej oraz posiada ścisłą interpretację geometryczną. Wartość tego współczynnika ustala poziom istotności dla wielkości prognozowanych z modelu liniowej regresji. Współczynniki korelacji Pearsona definiują również elementy macierzy korelacyjnej dla zmiennej losowej wielowymiarowej, która jest podstawą do wszelkich analiz statystycznych tych zmiennych. Na podstawie elementów macierzy korelacyjnej można obliczyć współczynnik korelacji wielorakiej, współczynniki korelacji cząstkowej oraz współczynniki regresji. Macierz korelacyjna może być również wykorzystana do analizy dokładności nowych statystyk (parametrów) opartych na rozpatrywanych zmiennych losowych, a to prowadzi do określenia macierzy kowariancji dla tych parametrów.

The purpose of the analysis of different correlation coefficients is to indicate the application range of a given correlation coefficient as well as its analytic and geometric interpretation. From the analysis it may be concluded that it is always necessary to use Pearson correlation coefficient for quantitative random variables, because this coefficient value is connected with random variable distribution parameters and has a strict geometric interpretation. The value of the coefficient is determined by significance level for quantities predicted from linear regression model. Pearson correlation coefficients also define correlation matrix elements for a multidimensional random variable being the basis of all statistic analyses of these variables. Using the correlation matrix elements, it is possible to calculate the multiple correlation coefficients, partial correlation coefficients and regression coefficients. Correlation matrix may be applied to examine the accuracy of new statistics based on considered random variables and, consequently, to determine covariance matrix for these parameters.